在過去的文章中，我時常提到風險收益比，或是收入的可靠性。但對於沒有機率以及數理統計的聽者而言，這樣的概念不容易掌握。對於這種情況，我很喜歡以聖彼得堡悖論為例，幫助聽者刻劃風險收益比的輪廓。今天和親戚又聊到相關的話題了，索性寫成一篇文章。
多數人沒有把風險，即不確定性，放在心中的習慣。分析優劣時往往只依據平均，或期望值，進行決策。那麼以下的例子，聖彼得堡悖論，將對他們造成很大的困擾。現有一擲連續硬幣遊戲，規則如下：
請問，你最多肯付多少錢參加這個遊戲？
本來沒打算寫這篇的，我不覺得股票期權有重要到值得我寫一篇文章。畢竟股票期權的市場規模不若主流商品，能容納的資本較小。但
以上兩點就是我寫這篇文章的動機。
首先，股票期權是一種期權，其底層證券為股票。最基本的應用方式是將股票期權用作調整股票持有數量的工具，即抱著會被履約的心態賣出期權。
過去我的資產組合只包含股票、股票期權以及公司債，但從2020/01/16開始，我將公債納入了資產組合。這是2019年報出了以後，檢討了近半個月才制定的策略。目前為止似乎我的運氣很好，就在我配置公債後沒幾天，武漢肺炎就爆發了。
（圖中四檔標的都是ETF，由左而右分別對應20年期以上美國公債、標準普爾500、高收益公司債以及摩根台股指數。）
在《所謂專職投資人》中提過專職投資人和業餘投資人的最大差別就是收入的可靠性，但知道歸知道，業餘投資人非常難體會可靠性有多重要。包括我自己也是在2016年離職以後，才深刻的體認到可靠性的重要程度。會想寫這篇也是因為看到一位頗具實力的前兆豐投信經理人離職後的感想，讓我心有戚戚焉。（大概是70%的覓得知音加上30%的幸災樂禍？）
（來源：https://www.facebook.com/NobleYenFansClub/posts/3400251500048820）
這篇文章是當初剛接觸期權時整理的心得筆記，需要微積分及微分方程的背景知識。由於文章用到的字句都是簡單的句子以及專有名詞，所以就不翻譯成中文了。
Definition 1. A random process $I_t$ is an Ito Process if and only if
2019 終於結束了，這篇想藉著年報結算，分享如何判斷績效的優劣。具體會分成兩部分，對應損益表的報酬率以及對應現金流量表的預計損益；至於資產負債表，由於沒有非流動資產，所以我不太關注。
在結算之前，先說說2019的感想。由於我的配置非常分散，所以只有極低的機率會受個別部位顯著影響。但仍舊有些部位特別亮眼，尤其是可贖回的債券。過去我傾向避開可贖回債，因為我懶得處理到期日的不確定性，也因此錯過了不少機會。但今年的幾個印象深刻的回報都是來自可贖回債，而且雖然真的有遇到被贖回的案例，卻也沒花多少時間就找到適合的接替部位。未來應該會多關注些可贖回債，只要占比別太大，控制在就算同時被贖回也無所謂的程度即可。接著來看券商（Interactive Brokers）提供的結算報告吧！
這篇文章會介紹充分統計量及相關的重要定理。
$T(X)$是樣本$X$對$\theta$的充分統計量，若且唯若滿足以下等價條件：
$$\begin{align}f_{\Theta|T,X}(\theta,t,x)&=f_{\Theta|T}(\theta,t)&(1)\\f_{X|T,\Theta}(x,t,\theta)&=f_{X|T}(x,t)&(2)\\f_{X,\Theta|T}(x,\theta,t)&=f_{X|T}(x,t)f_{\Theta|T}(\theta,t)&(3)\end{align}$$
接續《母體標準差？樣本標準差？（上）》，此篇繼續講解樣本標準差的由來。首先複習上篇考慮的例子，
$$\begin{align}f_{X_1,X_2,\cdots,X_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N|\mu,\sigma)&=f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)\cdots f_{X_N}(x_N)\\
&=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^N\exp\left({-\frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma^2}}-{\frac{(x_2-\mu)^2}{2\sigma^2}}\cdots-{\frac{(x_N-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)\\
&=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^N\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\left(\sum_n x_n^2-2\mu\sum_n x_n+N\mu^2\right)\right)\\&=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^N\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\left(T_2-2\mu T_1+N\mu^2\right)\right)\end{align}$$
相信多數人都曾經問過老師：樣本標準差和母體標準差的異同為何？通常老師給的標準答案是：樣本標準差少一個維度。想必很多人聽到這答案的表情是六臉矇逼，我當初也是一臉黑人問號。直到上了大學，有了相關知識才理解那句話的意思。這篇文章會用截然不同且淺顯易懂的方式說明樣本標準差和母體標準差的由來。
考慮一獨立同分布隨機過程$\{X_n|n\in\mathbb{N}\cap[1,N]\}$，且其隨機變量服從常態分布$N(\mu,\sigma^2)$，即
$$\left\{\forall n\in\mathbb{N}\cap[1,N]\right\}\left\{f_{X_n}(x_n|\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x_n-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\right\}$$
就算沒學過機率統計相關知識的人，應該也聽過標準差及平均數。標準差是變異數的一種估計法；平均數則是期望值的一種估計法。而一對期望值$\mu$及變異數$\sigma^2$則可以唯一決定一個常態分布（Normal Distribution）$f_X$：
$$f_X(x|\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$
由此可見常態分布的重要程度，究竟常態分布何以隨處可見？要解答這個問題就不得不提到中央極限定理（Central Limit Theorem）：考慮獨立的離散隨機過程，若其滿足林德伯格條件（Lindeberg's Condition），則其和之極限服從常態分布。
2015年8月24日當天的情境我仍記憶猶新；雖然綜觀整段台股歷史，那天真算不上什麼，但那卻是我辭職成為專職投資人的契機。約莫一年後，約了過去的同事吃飯敘舊，閒聊間談到0050。當時我說道：「當前70元的0050真的不算貴。」然而眾人都以為我在說笑，畢竟台股自古難萬點，而當時是大約9000點。
以上只是其中一例而已，生活中不乏這種錯誤解讀數據的案例。其中一個關鍵是多數人都忘了檢查是否滿足平穩過程（Stationary Process）的條件，甚或根本不知何為平穩過程。
先考慮個簡單的例子，以下是Howard Marks所著《有關投資與人生最重要的事》的其中一頁：
。Howard Marks舉了個很生活化的例子：「以氣象預報人員為例，他說明天下雨的機率是70%。明天果然下雨了；他的預報是對或錯？或者明天沒有下雨；他的預報是對或錯？」
寫這篇的動機是我發現最近不少人把負利率、利率倒掛或利率曲線掛在嘴邊，卻不清楚何為利率及其和證券價格的關聯。
（來源：https://www.facebook.com/SmartLCH/posts/2548969921822520 ）
「若有獲利能力，何須開班授課？」對於投資課程，這是多數人都有的疑問。為何投資達人們大部分仍舊需要賣書或課程？
這些投資達人中的確有不少是沒有獲利能力的，但其中也不乏有獲利能力的投資達人。但，能獲利至多只算是業餘投資人而已，離專職投資人還差得遠；專職投資人不只要能獲利，還要能穩定獲利。
今天多位朋友不約而同傳給我乃皇包的文章，諸如「開盤5分鐘就虧損740萬...」一個投資客的告白：我如何從月賺200萬，2年賠光1800萬、一篇價值1,810萬的文章：兒子剛出生，每月我還要還債9萬，提醒四個不能犯的理財錯誤等。
這些文章的標題都非常聳動，在眾多達人的心(xuan)得(yao)文中顯得突兀。但我實在很難相信一位集專業、技術與運氣於一身，甚至還對外募資的專業投資人會寫下：
「結果107年2月6日遭逢股災，期貨EA閃崩，開盤5分鐘就虧損740萬，當下我真的是倒抽一口氣，頭髮不知道白了幾根......」
