笨潔旻畫蝴蘭

2019 終於結束了，這篇想藉著年報結算，分享如何判斷績效的優劣。具體會分成兩部分，對應損益表的報酬率以及對應現金流量表的預計損益；至於資產負債表，由於沒有非流動資產，所以我不太關注。

在結算之前，先說說2019的感想。由於我的配置非常分散，所以只有極低的機率會受個別部位顯著影響。但仍舊有些部位特別亮眼，尤其是可贖回的債券。過去我傾向避開可贖回債，因為我懶得處理到期日的不確定性，也因此錯過了不少機會。但今年的幾個印象深刻的回報都是來自可贖回債，而且雖然真的有遇到被贖回的案例，卻也沒花多少時間就找到適合的接替部位。未來應該會多關注些可贖回債，只要占比別太大，控制在就算同時被贖回也無所謂的程度即可。接著來看券商（Interactive Brokers）提供的結算報告吧！

• 資產管理是一生的事情，如果健康維持的夠好，一生的長度遠大於一年。所以眼光要放長遠，別用一年看一生。一年好不代表一生好，一年差也不代表一生差。

首先是Risk Measures Benchmark Comparison：

券商報告我通常只看這頁，這部分是帳戶績效和標竿指數的比較，我設定的標竿是追蹤標普500的SPY以及追蹤MSCI摩根台灣指數的EWT。在《所謂專職投資人》提過專職和業餘最大的差異在於收入的可靠性，這是多數台灣的投資達人們都絕口不談的重點。直觀的想，收入的可靠性指的是承擔了多少風險獲取多少報酬，更具體些就是收入的不確定性有多大。但這樣的認知仍舊過於粗糙，無法用來衡量比較績效的優劣程度，所以必須利用數學工具。

在《常態分布何以隨處可見？》提過，一對期望值和變異數可以唯一決定一個常態分布；而《母體標準差？樣本標準差？（上）》及《母體標準差？樣本標準差？（下）》則分述平均值和標準差是估計期望值和變異數的主要方式。所以這報告中最重要的參數就是Ending VAMI以及Standard Deviation，Ending VAMI指的是期初投入1000至期末的清算值，將Ending VAMI除以1000即為年化平均值；Standard Deviation指的則是日化標準差。

除了以上兩個參數以外，還有個重要的參數是Correlation，指的是和標竿指數的相關性。緊接在Correlation下面的是β和α，詳細的算法就不墜述了，Wiki都有。β指的是標竿指數對績效的貢獻程度，α則是指排除掉來自標竿指數的所有相關報酬以後，剩下的不受標竿指數影響的報酬。

最後是Sharpe Ratio，報告中採用的定義是年化平均值和年化標準差的比值。（問1：年化和日化對Sharpe Ratio有何影響？）Sharpe Ratio是衡量投資績效的主要指標，比起看期望值及標準差，投資人更傾向直接看Sharpe Ratio。因為不同人的風險承受能力可能不同，風險承受能力較低的人，也許會願意為了減小不確定性而犧牲掉一些報酬。

假若投資人A的期望值是10%且標準差是12.5%，而投資人B的期望值是20%且標準差是25%。只看報酬率的話，投資人B的表現比較亮眼。但若不考慮融資利率的話，投資人A只要融資就可以把期望值和標準差同步放大至2倍，甚至更高。只是因為風險偏好的關係，投資人A選擇較小的的報酬率以換取更穩定的收入。而若用Sharpe Ratio衡量A和B的績效，兩者的Sharpe Ratio都是0.8，績效是一樣的。

• 其實只是為了方便大家理解才用融資的例子，實際上融資並不會讓期望值和標準差同步放大。仔細計算會發現，融資的情況下，就算不考慮利率，也只有標準差會等比例放大，期望值並不會等比例放大。詳細的推論可以參考《伊藤引理（Ito's lemma）及布萊克-休斯模型（Black-Scholes Model）》中的Example 3，次方項不是$\mu$而是$\mu-\frac{1}{2}\sigma^2$。也就是說，若以利率$i$融資$c$倍，年化期望值會變為$\exp\left\{(1+c)\mu-ci-\frac{1}{2}(1+c)^2\sigma^2\right\}$，而非$\exp\left\{(1+c)\mu-ci-\frac{1}{2}(1+c)\sigma^2\right\}$。

Risk Measures Benchmark Comparison姑且告一段落，其他參數其實也很重要，例如Tracking Error和Information Ratio。順帶一提，有仔細讀過我的文章的人，應該會有不少針對券商計算統計特性的疑問。例如：平均值是算術平均值還是幾何平均值？標準差是母體標準差還是樣本標準差？夏普比率是算術還是幾何？所以我仍舊習慣自己計算這些統計特性，如下圖所示，用GOOGLE試算表就可以完成這些工作。

• 圖中的β和α採用的是我自己的定義，不同於常見的定義。

接著是Projected Income：

這部分表示未來一年預計的現金流分布，就是未來各月份來自各種資產類別的現金流量。例如我有融資，所以代表Cash的綠色直方圖是負的。

現金流量還有一個很重要的就是債券梯，也就是債券的到期分布。這部分券商也不會提供，所以我也是自己做圖。

可以看出我的債券梯目前是子彈式，集中在2020及2021年。為了確保每年都能有足夠的現金流，無論利率曲線如何，我都會配置大量的短期債券。至少目前為止都是這麼做的，未來應該也會持續下去。

總之，如同解工程問題，先訂出邊界條件和成本函數。在滿足邊界條件的情況下，最小化成本函數。我目前設定的邊界條件有三條：

1. 年化報酬率期望值大於LIBOR一年期利率，
2. $\left(n\leq 4\right)\left(n年內的債券梯現金流總和占債券梯總值比不小於0.125\cdot\sum_{k=0}^3 0.5^{0.5k}\right)$，
3. 一年內被追繳保證金的機率小於百萬分之1.7，也就是保證金要求和清算淨值的比值比報酬率期望值低六個報酬率標準差。（問2：為何是6個而非4.5個？提示，六標準差。問3：期望值及標準差是年化還是日化？）

而我的成本函數則是負1倍的Sharpe Ratio，也就是最大化Sharpe Ratio。（問4：為何不用負1倍的報酬率期望值作為成本函數？）照這邊界條件和成本函數，我當初規劃出來的策略預計年化報酬率和年化期望值會同樣都是大約12.5%。雖然2019年的統計數據明顯偏離很多，但如同這篇文章開頭寫的別用一年看一生。若拉長統計時間，大數法則就會開始發揮效力，中央極限定理的影響也會越來越顯著。例如，從2018/8/1至2019/12/31，我的報酬率年化平均是15.32%，年化標準差是14.42%；從2018/3/20至2019/12/31，年化平均則是13.76%，年化標準差是13.35%。

2019年報大致如此，比起券商的報告，我費更多的心思在利用GOOGLE試算表計算自己在意的諸多參數，就不墜述了。