笨潔旻畫蝴蘭

在過去的文章中，我時常提到風險收益比，或是收入的可靠性。但對於沒有機率以及數理統計的聽者而言，這樣的概念不容易掌握。對於這種情況，我很喜歡以聖彼得堡悖論為例，幫助聽者刻劃風險收益比的輪廓。今天和親戚又聊到相關的話題了，索性寫成一篇文章。

多數人沒有把風險，即不確定性，放在心中的習慣。分析優劣時往往只依據平均，或期望值，進行決策。那麼以下的例子，聖彼得堡悖論，將對他們造成很大的困擾。現有一擲連續硬幣遊戲，規則如下：

1. 若第$1$次擲出正面，獲得$1$元，並結束遊戲。
2. 若第$n$次擲出反面，則擲第$n+1$次。
3. 若第$n$次擲出正面，則獲得$2^{n-1}$元，並結束遊戲。

請問，你最多肯付多少錢參加這個遊戲？

若僅用期望值評估遊戲的價值，獲得金額的期望值為

$$\begin{align}&1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+\cdots\\=&\sum_{n=1}^\infty 2^{n-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n\\=&\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}\end{align}$$

明顯地，期望值不存在，或者說是無限大；但你真的願意支付無限大的代價參與這遊戲麼？

現在改用風險收益比的觀點，這裡我選用的指標是期望值和標準差的比值，其值為

$$\begin{align}&\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{\sum_{n=1}^N\frac{1}{2}}{\sqrt{\sum_{n=1}^N \left(\left(2^{n-1}-\sum_{n=1}^N\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}}\\=&\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{\frac{N}{2}}{\sqrt{\sum_{n=1}^N \left(\left(2^{n-1}-\frac{N}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}}\\=&\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{N}{\sqrt{2^{N+1}-N^2-2-\frac{N^2}{2^N}}}=0\end{align}$$

也就是說，雖然其期望值很高，但標準差更高。其風險收益比為0，不值得支付大於零的代價。

有些人會納悶，反正最差都有1元，為何我連1元都不願意支付？因為其風險（不確定性）太高，高到我不知該如何控制曝險部位。極低的風險收益比，代表獲利極不穩定，難以依據不可靠的收入制定支出計畫。

當然，這只是其中一種風險收益比的測度；更甚者，風險收益比只是一種價值觀而已。除了風險收益比以外，還有諸如邊際效用遞減或最大效用等其他套價值觀被用以處理這類問題。更重要的是，價值觀無所謂對錯，必須想清楚自己期望的是何種結果。心有所屬，才能依據自身偏好，選擇適合的價值觀。

註：若仍舊無法透過聖彼得堡悖論體會風險收益比，可以改用樂透來想像。就算樂透的頭獎高到足以使期望值為正，應該很少有人願意支付接近期望值的代價玩樂透，也不會根據玩樂透的預期收入計畫未來的各項支出。