笨潔旻畫蝴蘭

在過去的文章中，我時常提到風險收益比，或是收入的可靠性。但對於沒有機率以及數理統計的聽者而言，這樣的概念不容易掌握。對於這種情況，我很喜歡以聖彼得堡悖論為例，幫助聽者刻劃風險收益比的輪廓。今天和親戚又聊到相關的話題了，索性寫成一篇文章。

多數人沒有把風險，即不確定性，放在心中的習慣。分析優劣時往往只依據平均，或期望值，進行決策。那麼以下的例子，聖彼得堡悖論，將對他們造成很大的困擾。現有一擲連續硬幣遊戲，規則如下：

1. 若第$1$次擲出正面，獲得$1$元，並結束遊戲。


2. 若第$n$次擲出反面，則擲第$n+1$次。


3. 若第$n$次擲出正面，則獲得$2^{n-1}$元，並結束遊戲。

本來沒打算寫這篇的，我不覺得股票期權有重要到值得我寫一篇文章。畢竟股票期權的市場規模不若主流商品，能容納的資本較小。但

1. 最近有位深交的朋友，被股票期權搞到有點心態失衡；
2. 資本規模不大的時候，股票期權的確是個很強的工具。

過去我的資產組合只包含股票、股票期權以及公司債，但從2020/01/16開始，我將公債納入了資產組合。這是2019年報出了以後，檢討了近半個月才制定的策略。目前為止似乎我的運氣很好，就在我配置公債後沒幾天，武漢肺炎就爆發了。

（圖中四檔標的都是ETF，由左而右分別對應20年期以上美國公債、標準普爾500、高收益公司債以及摩根台股指數。）

雖然我的資產組合內沒有ETF，全部都是自選標的，但難免也會受到影響。幸而我提早配置了公債，淨資產不減反增。

接著來聊聊我配置公債的動機，先從債券的特性談起。在《債務到期分布，以California Resources Corp(NYSE: CRC)為例。》中提過債券的本質是二元期權（Binary option）組合，故債券具備所有期權的特性，用期權來理解債券會簡單許多。期權最基本的特性有兩個：

1. 效期越久，期權價值收斂速度越慢；

在《所謂專職投資人》中提過專職投資人和業餘投資人的最大差別就是收入的可靠性，但知道歸知道，業餘投資人非常難體會可靠性有多重要。包括我自己也是在2016年離職以後，才深刻的體認到可靠性的重要程度。會想寫這篇也是因為看到一位頗具實力的前兆豐投信經理人離職後的感想，讓我心有戚戚焉。（大概是70%的覓得知音加上30%的幸災樂禍？）

（來源：https://www.facebook.com/NobleYenFansClub/posts/3400251500048820）

那麼究竟是怎樣的報酬率讓他如此不安呢？難道專業經理人沒獲利能力麼？當然不是。

（來源：https://www.facebook.com/NobleYenFansClub/photos/a.1530812106992778/3402082099865760/）

如圖所示，其報酬率近10%，長期領先加權指數。這是非常優異的報酬率，不懂的人去查查巴菲特在2007年時用100萬美元立下的10年賭約，興許能理解長期領先指數的困難之處。

債券除了之前提到的《久期與凸性》以外，更根本的參數是到期日以及票面利率，畢竟久期和凸性也是用到期日及票面利率計算出來的。其中，我認為到期日又比票面利率重要，畢竟只有可贖回債才要擔心票面利率會不會太高以致於被贖回，而到期日卻大大影響違約的可能性。除了個別債券的違約率以外，以整體投資組合的觀點來看，建構債券梯時考慮的也是到期日。無論個別標的或資產組合的觀點，都足見到期日的重要性。

下圖是2019年隨手寫下的筆記，內容是2019年之後California Resources Corp（NYSE: CRC）的債務到期分布：

顯而易見地，公司的債務壓力主要集中在2022年12月。還沒看公司的現金流量表或損益表就能大概有個底，除非公司的現金流量非常充沛，否則2022年12月的債務違約風險會驟升。（注意，只是驟升，不代表違約風險很高。）綜合考慮油價、開採成本、現金、存貨、固定資產以及最重要的融資能力等數據，可以推估公司在2021年9月以前的違約可能性極低。

當時我正好想補一些短期債券到我的債券梯裡，所以2019年底我配置了一部分資產在2021年9月15到期的CRC債券。以當時的價格來算，若最終結果真的沒有違約的話，殖利率超過200%；而若違約，推估其回復率也不至於讓我有多大的虧損，畢竟當時的價格不到40元。（債券的面值是100元，交易單位是1000元。）

下圖則是去年底至今的債券價格變化：

這篇文章是當初剛接觸期權時整理的心得筆記，需要微積分及微分方程的背景知識。由於文章用到的字句都是簡單的句子以及專有名詞，所以就不翻譯成中文了。

reference: https://ocw.mit.edu/courses/sloan-school-of-management/15-070j-advanced-stochastic-processes-fall-2013/index.htm

Definition 1. A random process $I_t$ is an Ito Process if and only if
$$dI_t=\mu(t,I_t)dt+\sigma(t,I_t)dB_t$$
,where $B_t$ is the standard Brownian motion process, that is $B_t\sim N(0,t)$. Moreover,

2019 終於結束了，這篇想藉著年報結算，分享如何判斷績效的優劣。具體會分成兩部分，對應損益表的報酬率以及對應現金流量表的預計損益；至於資產負債表，由於沒有非流動資產，所以我不太關注。

在結算之前，先說說2019的感想。由於我的配置非常分散，所以只有極低的機率會受個別部位顯著影響。但仍舊有些部位特別亮眼，尤其是可贖回的債券。過去我傾向避開可贖回債，因為我懶得處理到期日的不確定性，也因此錯過了不少機會。但今年的幾個印象深刻的回報都是來自可贖回債，而且雖然真的有遇到被贖回的案例，卻也沒花多少時間就找到適合的接替部位。未來應該會多關注些可贖回債，只要占比別太大，控制在就算同時被贖回也無所謂的程度即可。接著來看券商（Interactive Brokers）提供的結算報告吧！

• 資產管理是一生的事情，如果健康維持的夠好，一生的長度遠大於一年。所以眼光要放長遠，別用一年看一生。一年好不代表一生好，一年差也不代表一生差。

這篇文章會介紹充分統計量及相關的重要定理。

$T(X)$是樣本$X$對$\theta$的充分統計量，若且唯若滿足以下等價條件：

$$\begin{align}f_{\Theta|T,X}(\theta,t,x)&=f_{\Theta|T}(\theta,t)&(1)\\f_{X|T,\Theta}(x,t,\theta)&=f_{X|T}(x,t)&(2)\\f_{X,\Theta|T}(x,\theta,t)&=f_{X|T}(x,t)f_{\Theta|T}(\theta,t)&(3)\end{align}$$

。換句話說，只要掌握了充分統計量$T(X)$，就相當於掌握了整個樣本$X$。

第一個要介紹的重要定理是Fisher–Neyman Factorization Theorem：$T(X)$是$X$的充分統計量，若且唯若

接續《母體標準差？樣本標準差？（上）》，此篇繼續講解樣本標準差的由來。首先複習上篇考慮的例子，

$$\begin{align}f_{X_1,X_2,\cdots,X_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N|\mu,\sigma)&=f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)\cdots f_{X_N}(x_N)\\
&=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^N\exp\left({-\frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma^2}}-{\frac{(x_2-\mu)^2}{2\sigma^2}}\cdots-{\frac{(x_N-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)\\
&=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^N\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\left(\sum_n x_n^2-2\mu\sum_n x_n+N\mu^2\right)\right)\\&=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^N\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\left(T_2-2\mu T_1+N\mu^2\right)\right)\end{align}$$

相信多數人都曾經問過老師：樣本標準差和母體標準差的異同為何？通常老師給的標準答案是：樣本標準差少一個維度。想必很多人聽到這答案的表情是六臉矇逼，我當初也是一臉黑人問號。直到上了大學，有了相關知識才理解那句話的意思。這篇文章會用截然不同且淺顯易懂的方式說明樣本標準差和母體標準差的由來。

考慮一獨立同分布隨機過程$\{X_n|n\in\mathbb{N}\cap[1,N]\}$，且其隨機變量服從常態分布$N(\mu,\sigma^2)$，即

$$\left\{\forall n\in\mathbb{N}\cap[1,N]\right\}\left\{f_{X_n}(x_n|\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x_n-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\right\}$$

。則取得樣本為$\{x_1,x_2,...,x_N\}$之機率為

$$\begin{align}f_{X_1,X_2,\cdots,X_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N|\mu,\sigma)&=f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)\cdot\cdots\cdot f_{X_N}(x_N)\\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^N\exp\left({-\frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma^2}}-{\frac{(x_2-\mu)^2}{2\sigma^2}}\cdots-{\frac{(x_N-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)\\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^N\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\left(\sum_n x_n^2-2\mu\sum_n x_n+N\mu^2\right)\right)\\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^N\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\left(T_2-2\mu T_1+N\mu^2\right)\right)\end{align}$$

就算沒學過機率統計相關知識的人，應該也聽過標準差及平均數。標準差是變異數的一種估計法；平均數則是期望值的一種估計法。而一對期望值$\mu$及變異數$\sigma^2$則可以唯一決定一個常態分布（Normal Distribution）$f_X$：

$$f_X(x|\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

由此可見常態分布的重要程度，究竟常態分布何以隨處可見？要解答這個問題就不得不提到中央極限定理（Central Limit Theorem）：考慮獨立的離散隨機過程，若其滿足林德伯格條件（Lindeberg's Condition），則其和之極限服從常態分布。

初見林德柏格條件可能不容易掌握其概念，簡言之即隨機過程的統計特性不受其內特定隨機變量主宰。這條件其實非常容易滿足，這導致了自然界到處都有常態分布的蹤跡。

最後留下個問題讓讀者想想：加權股價指數是否服從常態分布？換句話說，加權股價指數是否滿足林德伯格條件？若否，將加權股價指數取對數以後，會否滿足林德柏格條件？

2015年8月24日當天的情境我仍記憶猶新；雖然綜觀整段台股歷史，那天真算不上什麼，但那卻是我辭職成為專職投資人的契機。約莫一年後，約了過去的同事吃飯敘舊，閒聊間談到0050。當時我說道：「當前70元的0050真的不算貴。」然而眾人都以為我在說笑，畢竟台股自古難萬點，而當時是大約9000點。

以上只是其中一例而已，生活中不乏這種錯誤解讀數據的案例。其中一個關鍵是多數人都忘了檢查是否滿足平穩過程（Stationary Process）的條件，甚或根本不知何為平穩過程。

平穩過程分為強平穩過程（Strictly Stationary Process）和弱平穩過程（Wide-Sense Stationarity Process）。前者較好理解，即機率分布不隨指標（例如時間或位置）變化；後者的定義是期望值及自相關函數（Autocorretation Function）不隨指標改變，也就是統計特性不隨指標變化。相較於弱平穩過程，強平穩過程的條件非常難滿足；且弱平穩過程的定義，對多數人而言也較難理解。會這樣定義弱平穩過程自然是因為有相應的需求，通常只要滿足弱平穩過程就可以得到不錯的估測結果，例如統計學、檢測與估計理論或是資料科學等。

最後，回到本文開頭的例子，加權股價指數是否滿足平穩過程的條件？生活中還有哪些常見的偏誤是對平穩過程的無知而導致的？